2015年6月15日更新
割引現在価値の考え方[top]
==== 問題 ===================
小遣いを今年３万円，来年４万円もらう場合と，
今年４万円，来年３万円もらう場合の選択肢が
あった場合，あなたならどっちを選びますか．
それともどちらでも同じですか？
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選択肢（ケータイマクロ問題）
（１）今年３万，来年４万
（２）今年４万，来年３万
（３）どちらでも同じ，差はない
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
（解説）
ここでのお話のポイントは利子率（金利）が関わって
くることです．
言い換えれば，現在の１万円と１年後の１万円は同じ
価値ではないということです．年の金利を１０％
（計算を簡単にするための数値です）として考えましょう．
現在１万円をもっています．金利が１０％（複利）と
すると１年後，２年後，・・，ｎ年後の元利合計は
次のようになります．
１年後＝１×（１＋０．１）
２年後＝｛１×（１＋０．１）｝×（１＋０．１）
＝１×（１＋０．１）＾２
３年後＝１×（１＋０．１）＾３
ｎ年後＝１×（１＋０．１）＾ｎ
上の関係を逆に見ると，１年後の１．１万円は今年の
１万円と同等であり，２年後の１．２１万円は今年の
１万円と同等の価値があるということになります．
これらから，将来上がる収益を現在時点ではいくらに
なるかを計算するには，将来の各時点での収益を，
１年後なら（１＋金利），
２年後なら（１＋金利）＾２，
ｎ年後なら（１＋金利）＾ｎで
割ってやればよいということになります．
これが将来の予想収益を現在時点の価値に評価する
「現在価値法」の基本的な考え方です．
例えば，３年後までの予想収益の流れの現在価値の合計
は次のようになります．
予想収益の総額＝１年後の収益／（１＋金利）
＋２年後の収益／（１＋金利）＾２
＋３年後の収益／（１＋金利）＾３
【問題の解答】
先ほどの小遣いの例に戻って，現在価値法の考え方を
適用すると，次のようになります．
小遣いを今年３万円，来年４万円の場合の現在価値：
４
３ ＋ -------------- ＝ ３ ＋ ３．６ ＝６．６万円
１＋０．１
小遣いを今年４万円，来年３万円の場合の現在価値：
３
４ ＋ -------------- ＝ ４ ＋ ２．７ ＝６．７万円
１＋０．１
結局，今年４万円，来年３万円もらった方が，現在価値
は高いということになります．
この現在価値法の計算は，「収益還元法」とも呼ばれ
将来資産の価値を測る場合に様々な分野で利用されてい
ます．例えば，土地の評価，貸しビルの評価，ローンの
計算，裁判の賠償額の計算などに使われています．
経済学の教科書では，投資を評価するときの
「投資の限界効率」や債券の市場価格を計算する場合
などに登場します．
★補足情報 -------------------------------------------
上で使用した「小遣いの例」は，中国の有名な故事成語，
「朝三暮四（ちょうさんぼし）」をヒントに作成しました．
「朝三暮四」を知らない方は，以下の私のメールマガジンを
参照してください．割引現在価値法と等比数列の基本的な考え方
について学ぶことができます．
投資の限界効率[top]
ここで学ぶ投資(investment)は，消費者によるいわゆる
「株式投資」ではなく，企業による投資活動，設備投資
が主な対象です．ＧＤＰの約１５％を占めるのがこの投資
です．設備投資とは，具体的には工場を建設したり，
機械などの設備を購入あるいは更新したりする投資のこと
です．
「投資は利子率の減少関数になる，すなわち，利子率
が下がれば投資は増加する．利子率が上がれば投資は
低下する」という投資の限界効率の考え方を学びます．
企業は投資を決定するとき，どのような要因を考慮する
でしょうか．将来の景気の見通し（予想）が重要な要因
になることはいうまでもありません．将来の予想を所与
とした場合，次の２点がポイントとなります．
１．投資から得られることが予想される将来の収益の
現在価値
２．投資のコスト
投資からの収益の方がそのコストより大きいと判断され
れば，その投資は実行することが決定されます．
逆であれば，その投資は見送られます．この点を正確に
定式化してみよう．
［記号説明］
C：機械（投資）の費用
ｎ：機械の経済的耐用年数
Rt ：ｔ期の投資の予想収益
r ：利子率
ρ：投資の限界効率（marginal efficiency of the investment）
将来発生する収益を現在時点で評価する考え方を
「割引現在価値法」（Present Discounted Value Method）
と呼んでいます．
投資を実行した場合，収益はその後何年かにわたって
発生することが予想されます．
その予想収益を現在時点で評価して，収益がコストを
上回れば投資を実行する価値があることになります．
予想収益の流列は次のようになります．
R1，R2，R3，・・・・・，Rn
予想収益は将来時点の値であり，現在の投資コストと
比較するためには，将来発生するであろう収益を現在
時点の値に評価する必要があります．
まず次のような簡単な例を使って説明しておきましょう．
１万円を年10%の複利で銀行に預金する場合を考えて
みましょう．
２年後までを計算すると次のようになります．
10,000 円 → 11,000 円 → 12,100 円
（現在） （１年後） （２年後）
1×(1+0.1)=1.1 {1×(1+0.1)}(1+0.1)
=1×(1+0.1)^2
現在の１万円は１年後には11000円になるので，現在の
１万円は１年後の11000円と同等の価値があるとみなす
ことができます．これを逆に考えれば，１年後の11000円
は現在の１万円と同等であるといえます．
１年後の11000円から１万円を計算するには，
（1 + 利子率）で１年後の収益を割ります．
２年後の収益の現在価値は予想収益を（１＋割引率）^２
で割ればよいことになります．従って一般に，
（１）
ｎ年後までの投資から得られる将来の予想収益全体の
現在価値Vは次のようにかくことができます．
（２）
上の式で毎期の予想収益が一定（R）でしかもそれが無限
に続くと仮定すると，初項がR/(1+r)，公比が1/(1+r)の
無限等比数列となり，現在価値の合計は次のようになります．
ここで，無限等比数列の和の公式を使っています．
上の式にあてはめて計算すると，
（３）
一方，投資の費用Cと等しくさせる将来の予想収益の
現在価値の割引率（予想収益率）ρ（ロー）のことを，
「投資の限界効率」(marginal efficiency of the investment)
と定義します．
（４）
投資収益と投資費用の比較によりその投資が採用されるか
否かが決定されます．
V ＞C ならば （あるいはρ＞ r）その投資計画は採用され，
逆ならば採用されません．
投資収益と投資費用の比較によりその投資が採用されるか
否かが決定されます．
V ＞ C → ρ＞ r → 投資採用
V ＝ C → ρ＝ r → 少なくとも損失なし
V ＜ C → ρ＜ r → 投資不採用
その投資が採用されるかどうかは，市場利子率と投資の
限界効率の大小関係に依存することがわかります．
投資の限界効率の高い投資プロジェクトから順に採用さ
れていき，限界効率の悪いもの程採用の序列は低くなります．
市場利子率と等しい限界効率の投資が採用の臨界点です．
これより小さい限界効率の投資は採用されません．
この関係を図に描いたのが投資の限界効率表です．
投資の限界効率表
市場利子率が10%ならば，ρoの限界効率の投資は採用
されませんが，利子率が5%ならば，この投資プロジェクト
は採用されます．従って，利子率が低下するほど投資は
増大することがわかります．利子率が上昇すれば，より
高い限界効率の投資しか実行されません．逆に，利子率
が低下すれば低い限界効率の投資でも実行することができます．
すなわち，「投資は利子率の減少関数である」ということ
が明らかになりました．これがケインズによる投資の
限界効率の考え方です．
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■投資の限界効率を求める例題
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「笑天商店」はプロ野球球団に50億円投資する
プロジェクトを計画中である．このプロジェクト
からは毎年４億円の収益が10年間にわたって得ら
れると想定されています．
１．投資の限界効率をρとして，投資の限界効率の
定義を表す式をたてなさい．
２．期間を無限とみなした上で，無限等比数列の和
の公式を使って，投資の限界効率ρを求めなさい．
３．投資資金を借りるときの金利が5％であったとき，
この投資プロジェクトは採用すべきかどうかを
判断しなさい．
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（解説）
投資の限界効率の定義（上の（４）式）から，
例題は次のように整理することができます．
（５）
上式を満たすρが投資の限界効率．
（なお，表計算ソフト（エクセル）などを使うと，上の式
に基づいてρを簡単に計算することができます．）
期間を無限にすると，無限等比数列の和の公式が使えます．
（５）式の右辺にこの公式を適用すると，（５）式は
次のようになります．
これより，ρ＝０．０８ すなわち，
投資の限界効率は８％．
投資資金を５％の金利で借りても，投資の限界効率
は８％なので利益がでることが予想されるので，
この投資プロジェクトは採用されます．
ケータイマクロ問題[top]
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■さらに，練習問題
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（設問１）ある投資プロジェクトの費用は１０億円で、
このプロジェクトからは、毎年１億円の収益が１０年間に
わたってあがる。期間を無限とした場合、投資の限界効率
はいくらになるか。
三者択一問題
（１） 0.1
（２） 0.2
（３） 0.3
（設問２）上の投資プロジェクトが採用されるためには，
費用を借りるときの金利水準は次のどの場合か．
三者択一問題
（１） １２％
（２） １１％
（３） ９％
その他の投資理論[top]
１．加速度原理
２．資本ストック調整原理
３．利潤原理
４．新古典派投資理論
５．トービンのｑ理論（James Tobinの写真，写真２）
■加速度原理
望ましい資本ストックと実際の資本ストックとの差を
１期で埋めるように今期の投資を行うと想定するのが
加速度原理です．
１．資本ストックKと産出高Yの間には資本係数vを媒介
として一定の関係があります．資本係数とは，産出
量１単位を得るのに必要な資本ストックの量のことです．
２．今期の投資を It，今期の資本ストックをKt，１期前
の期末の実際の資本ストックを Kt-1 とかくと，今期
の投資は今期の資本ストックを達成するために行う
ものですから，次のようにかけます．
結局，投資は所得の増加分に比例するという関係が得
られます．これが加速度原理です．
■資本ストック調整原理
望ましい資本ストック（K*）と現実の資本ストックとの
乖離をある一定割合だけ毎期毎期埋めていくように投資を
実行し，数期間をかけて望ましい資本ストックに到達しよ
うとするのが，資本ストック調整原理です．加速度原理
では差を一気に埋めてしまいます．
政府の経済（経済財政）白書などではこのタイプの投資
関数の推定がよく行われています．なお，加速度原理と
共に資本ストック調整原理では，資本係数は固定されています．
■利潤原理
投資は所得水準に依存するというのが利潤原理の投資
関数です．投資が行なわれるには企業側に利潤が発生
していなければなりません．その利潤は，企業の生産高
すなわち所得水準によって決まると考えます．
■新古典派投資理論
加速度原理や資本ストック調整原理では，資本係数は
固定されていました．これに対して，新古典派投資理論
は生産要素間の代替を認めます．ジョーゲンソン（1965）
は，資本ストックと労働の間で代替の可能性を許す生産
関数を前提として，最適な資本ストックの水準を企業の
利潤極大化行動から求めました．企業の最適化行動から
望ましい資本ストックを求め，次に望ましい資本ストック
と現実の資本ストックとの乖離は分布ラグに基づいて埋め
られていくと想定して，投資関数を導出します．
ジョーゲンソンの投資関数は，資本ストック調整原理を
一般化，理論的に精緻化し，実証分析にも耐えられるもの
として評価されています．
■トービンのq理論
トービンのｑは次のように定義されます．
企業の市場価値は株式市場で決まる株価に反映される
とみなします．また，株価は企業の将来にわたる収益
力を反映したものであると考えます．ｑが１以上の場
合は，企業が投資を１単位追加的に行うとき，それに
要する費用（買い換え費用）よりもそこから得られる
予想利益（株式市場での株価に表れると考える）の方
が大きいので，この投資を行うことになります．ｑが
１以下の場合は，市場が評価する企業の価値は現存す
る資本ストックの価値より小さいので，現存の資本ス
トックは過大であることになり，投資は控えます．
投資はｑの増加関数になるというのが結論．
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