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第73回 経済数学の基礎(マクロ経済学編) 常用対数と自然対数[top]
2004年6月4日発行
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国経館 経済数学の基礎 常用対数と自然対数 メールマガジン No.138
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みなさん，こんにちは．マクロ経済学を担当している笹山です．
このメールマガジンは国際経済学科のメールマガジン「国経館」の１つとして，
国際経済学科のすべての学生に配信されています．
今回は，経済学でよく使われる自然対数の話です．
マクロ経済学のメールマガジンとしてはNo.73です．
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【第１３８号】 経済数学の基礎 常用対数と自然対数
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大学の経済学では「自然対数（しぜん・たいすう）natural logarithms」が登
場します．高校の数学の教科書には自然対数の説明はありません．高校で習う
対数は「常用対数（じょうよう・たいすう）base 10 logarithms」です．この
あたりに大学での経済学，あるいは経済数学が難しいと感じる理由の１つがあ
るかもしれません．今回は，自然対数の経済的な意味を明らかにしておきたい
と思います．自然対数は経済成長や銀行に預金をした場合の元利合計の複利計
算などでよく使われており，実は結構身近な存在なのです．
内容の性格上，式が多く登場してきますが，根気よくつきあってください．後
半では数式処理ソフト Mathematica での計算方法も紹介しておきます．
■高校数学では常用対数
まずは高校数学（数学 II）の復習から始めましょう．
（対数の定義）-----------------------
a > 0 かつ a は1でないとするとき，指数関数 y = a^x で，任意の正の実数
Mに対して(M > 0)
a^p = M
となる実数pがただ１つ決まる．このpを
log a M
と表し，これをaを底（てい）とするMの対数という．Mをlog a Mの真数（しん
すう）という．
（常用対数）
10 を底とする対数 log 10 M を常用対数（じょうよう・たいすう．base 10
logarithm）という．
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（対数の性質）-----------------------
[1] log a M N = log a M + log a N
[2] log a M/N = log a M - log a N
[3] log a M^r = r log a M
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（底の変換公式）-----------------------
a, b, c が正の数で，a とc は１ではないとき，次の等式が成り立つ．
log c b
log a b = -------------
log c a
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（例）
log 10 100 = 2 10を底とする100の対数は2 と言います．
10^2 = 100 と同じことになります．
対数の底は10以外でもいいのですが，高校でなぜ10を底とする常用対数を学ん
だのかといえば，われわれは１０進法に慣れ親しんでいるということでしょう
か．
以上が，高校の数学の教科書に記載されている主な内容です．
■経済学では自然対数
経済学では常用対数でなく自然対数が使われます．自然対数とは何かをまず理
解しましょう．
（自然対数）-----------------------------
e を底とする対数 log e M を自然対数（しぜん・たいすう base e
logarithm）という．
ここで e とはe = 2.7182818...となる無理数．
log e x = y <=> e^y = x
log e x を簡単に ln x とよく書きます．ln はnatural logarithmを表します．
ln x = y では，xをえるためにはeを何乗(y)したらよいのかを意味しています．
e^(ln x) = x あるいは ln e^x = x
無理数(irrational number)には，皆さんがよく知っているものとしては，π=
3.1416...がありますが，それと似た概念だと思えばいいでしょう．
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経済学では，常用対数でなく自然対数なのはなぜ
自然対数の底 e = 2.71828...は，１万円を年利率１（100%）の複利で預金し
たときの元利合計の値からきています．
１年に１回利息を元金に組み入れると，１年後の元利合計は 1*(1 + 1)^1
半年に１回利息を元金に組み入れると，１年後の元利合計は 1*(1 +1/2)^2
半年複利のために金利は1/2になります．以下同様です．
１月に１回利息を元金に組み入れると，１年後の元利合計は 1*(1 +1/12)^12
１日に１回利息を元金に組み入れると，１年後の元利合計は
1*(1 +1/365)^365
１年に1000回利息を元金に組み入れると，１年後の元利合計は
1*(1+1/1000)^1000
一般に，１年にn 回利息を元金に組み入れると，１年後の元利合計は
1*(1 +1/n)^n となります．
複利の計算からわかるように，n の数をかなり大きくしていくと，元利合計の
値は限りなく大きくなっていくように感じますが，実はそうではなく上限があ
るのです．なぜなら金利の値は逆にどんどん小さくなっていくからです．結局，
ある一定値に近づいていきます．それが自然対数の底 e = 2.71828..なのです．
複利の回数をどんなに大きくしていっても１年後の元利合計は 2.71828 万円
を超えることはあり得ないのです．
1
lim (1 + ------- )^n = 2.71828 = e
n->∞ n
年利１（100％）でなく一般に年金利ｒで預金したとき，複利計算の間隔を年
１回から半年，月，週，日，．．．としだいに連続的に短くしていったときの
預金の元利合計の究極的な値は，次のように計算できます．
ここで，m = n/r とおくと，
r 1 1
(1 + ---- )^n = (1 + --------- )^n = (1 + --------- )^(m r)
n n/r m
r 1
lim (1 + ---- )^n = lim(( 1 + -----)^m)^r = e^r
n->∞ n n->∞ m
同じようにして，t年後には
r r
lim (1 + ---- )^(nt) = lim(( 1 + -----)^n)^t = e^(rt)
n->∞ n n->∞ n
一般に，A円を年利ｒの複利で預金した場合，ｔ年後には元利合計は
A e^(rt)
で増加していきます．
複利の金利を経済成長率とみなせば，上の式はGDPの成長率を表していると読
み替えることができます．GDPの初期値をAとし，年成長率をｒとすれば，GDP
は次の式に基づいて成長してきます．
A e^(rt)
■Mathematica での表記法と計算
10 を底とする常用対数は，Mathematicaでは，Log[10, x] で表現します．自
然対数はLog[E, x] ですが，通常は，Log[x]で表現します．
以下で太字の部分は Mathematica のプログラム部分です．
常用対数の例 Log[10, 100] -> 2
自然対数 Log[E, 9] = Log[9]
E（大文字）は自然対数の底の記号として使います．
Log[9] を実行すると，MathematicaはLog[9]と返します．これは
Mathematicaの性質としてまずは厳密解を計算するからです．数値解を表示す
るには，
N[Log[9]]
2.19722
小数点以下の桁数をもっと表示させたい場合は，
N[Log[9],17]
2.1972245773362194
全部で17桁表示になっています．
自然対数の底 e の計算をMathematicaで実験することができます．
TableForm[
Table[{x, N[(1 + 1/x)^x]}, {x, 1, 10}]
]
1 2.0
2 2.25
3 2.37037
4 2.44141
5 2.48832
6 2.52163
7 2.5465
8 2.56578
9 2.58117
10 2.59374
グラフで示すときは次のようにします．
Plot[
(1 + 1/x)^x, {x, 1, 100000},
GridLines -> Automatic,
Frame -> True
]
100万回計算すると，ちょっと時間がかかります．
N[1 (1 + 1/1000000)^1000000, 17]
答えは 2.7182804693193769
自然対数の底 e の意味を計算で確認すると次のようになります．
Limit[(1 + 1/n)^n, n -> Infinity]
答えは E
Limit[(1 + r/n)^n, n -> ∞]
答えは E^r
Limit[(1 + r/n)^(n t), n -> ∞]
答えは E^(r t)
■参考文献
Simon, Carl P.and Blume, Lawrence(1994), Mathematics for Economists,
W W Norton. Chapter 5 Exponents and Logarithms
中級レベルの経済数学のテキストとして定評があるものです．
■高校数学を復習するサイト
数学トレーニング講座：
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/5427/mathtrtop.html
高校数学を復習するには最適のサイトです．この中の「指数・対数」の部分を
読んでください．
数学思い出コラム：
http://www.asahi-net.or.jp/~tt9h-hskw/sugaku/
この中に「対数コラム（１）常用対数が生活で利用されている例」
「対数コラム（２）自然対数の底 e はどこから出た」があります．
■まとめ------------
・高校数学では，10を底とする常用対数を学んだが，大学の経済学で重要なの
は e を底とする自然対数．
・e =約2.7182 の無理数．
・e とは，１万円を年利率１（100%）の複利で預金したときの元利合計の計算
で，複利回数を連続的に無限大に大きくしていったときの究極的な値．
・A円を年利ｒの複利で預金した場合，ｔ年後の連続方式の元利合計は A e^(rt)
・GDPの初期値をAとし，年成長率をｒとすれば，GDPのｔ年後の値は A e^(rt)
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（注意）後日サイトにアクセスした場合，サイトの構成に違いがでてきたり，
ＵＲＬが変更になっている場合がありますので，了解してください．
（アクセス日）２００４年６月４日
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【Ｑ ＆ Ａ】自然対数の底 e の値はおよそ？
→ 2.7182
【今回のサイト】 数学トレーニング講座：
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/5427/mathtrtop.html
【評価】★★★
私の評価の基準：最高が★★★，次が★★，最後が★です．
★１つは普通という評価です．
データが十分提供されているかどうかが評価のポイントです．
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【国経館アーカイブ】 http://groups.yahoo.co.jp/group/kokkeikan/
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【発行】 熊本学園大学 経済学部 国際経済学科
【著者】 笹山 茂
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Copyright 2004