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第69回 経済数学の基礎（ミクロ経済学編） 最大・最小化問題[top]
2003年12月16日更新
2003年12月12日発行
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国経館 経済数学の基礎 ミクロ経済学編 メールマガジン No.131
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みなさん，こんにちは．笹山です．
このメールマガジンは国際経済学科のメールマガジン「国経館」の１つとして，
国際経済学科のすべての学生に配信されています．
今回は，ミクロ経済学で登場する経済数学の紹介です．
マクロ経済学のメールマガジンとしてはNo.69です．
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【第１３１号】 経済数学の基礎 ミクロ経済学編 最大・最小化問題
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経済学部の学生あるいは経済学部の卒業生には一般的にどのようなことが社会
から期待されていると思いますか？ 法学部の学生なら法律の知識，経済学部
の学生なら経済の知識ということになるでしょうが，じゃあ，具体的に経済の
知識，経済学の知識とはなんでしょうか．
小野・中山・福田・本多編（２００３）『現代経済学の潮流２００３』東洋経
済新報社，の中の対談「経済学教育の実践的課題（パネルディスカッション）」
で，ある実務家は次のように述べています．
「我々の立場から見ると，数学のできない経済学部生というのは，結局，商品
性がない．それなら，法律を少しでも知っていたほうがいいという感じになり
ます．もともと経済学部にも，金融を勉強している人やマイクロを勉強してい
る人など，いろいろな人がいるわけですが，おそらく数学と基本的な統計学と
基本的なマイクロの考え方みたいなのが最も基本で，そこがきちんとしていれ
ば，「自分自身の直面する問題を実際に分析してみなさい．データはこれです」
という形でやっていけば，あとは実は何とかなるということです（同書２４４
−２４５ページから引用）．」
この方は，要するに経済学部生が学ぶべき基本として数学（経済数学），統計
学，マイクロ（ミクロ経済学のこと）の３つを挙げているのです．
わたしなら，上の３つに，さらにマクロ経済学，計量経済学（コンピュータに
よるデータ処理）を必須科目として付け加えます．
ものごとを論理的に考える，数理的に処理できるという能力は経済学を学んで
いく過程で徐々に身に付いていきます．みなさんも１年次のマクロ経済学，ミ
クロ経済学で十分であると思うことなく（はっきりいってマクロ１，ミクロ１
だけでは不十分です），２年次以上に開設してあるマクロ経済学２，ミクロ経
済学２，計量経済学をぜひ履修してください．
そういうわけで，今回は経済学の中でもコア科目の１つであるミクロ経済学
（microeconomics英語ではマイクロエコノミクスと発音）で頻繁に登場する
経済数学の中から，最大・最小（極大・極小ともいいます）問題を例題を示し
ながら紹介します．
以下で★がついている項目は上級者向けですので，１年生のみなさんは飛ばし
て読んでください．もちろん，数学が得意な学生はチャレンジしてください．
また，☆で Mathematica を用いた解答も紹介しておきます．こちらも参考に
してください．Mathematica については，私のメールマガジン「Mathematica
のススメ」を参照してください．
メールマガジン Mathematica のススメ：
http://www.kumagaku.ac.jp/teacher/~sasayama/macroecon/mailmagamath.html
■最大・最小化問題を解く
最大・最小化問題には大きく分けて２つあります．１つは制約条件のない最大
・最小問題であり，もう１つは制約条件付きの最大・最小問題です．まずは簡
単な制約条件のない問題から始めましょう．
１年次向けの入門ミクロ経済学では原則として微分・積分は使わないで説明す
ることになっていますが，部分的に微分を使った解き方も紹介しています．
ミクロ経済学２やマクロ経済学２では本格的に微積分が登場します．２年生に
なったら微積分もそろそろ学び始めた方がいいでしょう．公務員試験を目指し
ている学生も多くいるかと思いますが，はっきり言って，微積分ができないと
公務員試験にでてくるマクロ，ミクロの問題は解けません．これだけはしっか
り覚えておいてください．
【例題１】企業の利潤極大化------------------------------------
ある企業の生産関数が Ｑ＝Ｘ＾０．５で表されています．Ｑは生産物の量，
Ｘは生産要素労働の量であり，要素価格（賃金）は０．２５です．この生産物
の価格は１とします．このとき，この企業の利潤が最大となるときの労働投入
量Ｘを求めなさい．
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（例題１の解説）
最初は制約条件のない最大化問題です．
利潤＝売上−費用 です．ここでは生産物はすべて販売されるものと想定しま
す．利潤はπ（パイ）という記号を使います．与えられた条件から利潤を定義
すると，
π ＝ 1*x^0.5 - 0.25*x （１）
横軸にｘ，縦軸にＱをとった図を描くと，利潤が最大となるのは，生産関数の
接線と費用線の傾きが等しくなるときです．
生産関数 x^0.5をx で微分すると，0.5 x^(-0.5)です．
結局，利潤最大の条件は，
0.5 x^(-0.5) = 0.25
これから，x = 4
（答）ｘ＝４
☆ Mathematica program --------------
rijun = x^0.5 - 0.25*x;
kai = Solve[D[rijun, x] == 0, x]
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（プログラム解説）
Solve は方程式を解く関数です．
== は Mathematica では方程式の等号です．
= は右辺を左辺に置くという意味だけをもちます．
Dは偏微分の関数です．
Mathematica では関数の頭文字は必ず大文字にします．
【例題２】所得制約のもとでの効用最大化---------------------------
ある合理的な消費者の効用関数が，U = X・Y （X：Ｘ財の消費量，Y：Ｙ財の
消費量）で示されるとします．この消費者は当初，Ｘ財を２０個，Ｙ財を２０
個所有しているとします．この消費者が効用を最大にするためにはＸ財とＹ財
をそれぞれどれだけ所有すればよいでしょうか．ただし，Ｘ財の価格２，Ｙ財
の価格１で，この消費者は当初貨幣をまったくもっていないものとします．
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（例題２の解説）
この問題は典型的な「制約条件付きの最大化問題」です．この場合の制約条件
は所得あるいは予算の制約です．消費者は現在の所得の範囲内でみずからの
「効用」を最大にするＸ財とＹ財の所有の組み合わせを求めます．
初期の所得は，Ｘ財を２０個，Ｙ財を２０個もっているので，それぞれの価格
をかけると求まります．
２０×２ ＋ ２０×１ ＝ ６０
効用関数 U = X・Y （１）
予算制約式 60 = 2*X + Y （２）
予算制約条件を効用関数に代入して，Uが最大となるときのXを求めます．
（２）から， Y = 60 - 2*X を（１）に代入します．
U = - 2 x^2 + 60*x = - 2 { (x - 15)^2 - 225} （３）
ＵはＸの２次関数になるので，上のように変形することができます．（３）式
は上向きに凸の放物線になっています．結局（３）から，U はX = 15 のとき
最大となります．
X = 15 を予算制約式（２）に代入するとＹが求まります．
Y = 60 - 2*15 = 30
この消費者にとって，効用を最大にする消費の組み合わせは X = 15, Y = 30
となります．
（答）X = 15, Y = 30
★（上級者向け）
制約条件付の最大・最小化問題を解く場合は，ラグランジュ未定係数法を使い
ます．
（注）ラグランジュ未定係数法は経済学部の上級生（３，４年生）にとっては
必須事項です．
問題設定：
max U = X・Y （目的関数）
s.t. 60 = 2*X + Y （制約条件）
（注：max A s.t. B はBの制約のもとでsubject to，Aをmaximizeすると
いう意味です．）
ラグランジュ未定係数法を使うと，上の問題は次のように書くことができます．
L = X・Y + λ（60 - 2*X - Y） （４）
λがラグランジュ乗数，Lがラグランジュ関数です．
最大化条件は次の３つの条件で示されます．最適化の１階の条件(first order
condition)と呼んでいます．Lを変数X，Y，λでそれぞれ偏微分した値をゼロ
とおきます．偏微分＝０で最大の条件が求まるのです．偏微分を計算すること
は関数のある点での傾きを求めることと同じなので，その傾き＝０というのは
その点は極値，すなわち最大点になります．
dL
---- = Y - 2*λ = 0 （５）
dX
dL
---- = X - λ = 0 （６）
dY
dL
---- = 60 - 2*X - Y = 0 （７）
dλ
上の３つの式（５）〜（７）から，X = 15，Y = 30 が得られます．
（注）上の式でdL/dX等の部分が微分です．LをXで偏微分しています．dは本来
は偏微分記号のラウンドを使います．
☆ Mathematica program --------------
Clear[f, g, L, x, y, lambda];
f[x_, y_] := x*y;
g[x_, y_] := 60 - 2*x - y;
L[x_, y_, lambda_] := f[x, y] + lambda*g[x, y];
c = Solve[
{
D[L[x, y, lambda], x] == 0,
D[L[x, y, lambda], y] == 0,
D[L[x, y, lambda], lambda] == 0
}, {x, y, lambda}
]
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（プログラム解説）
f[x_, y_] := は関数定義です．
Clear は変数のメモリを消去します．
【例題３】生産量の下で費用最小化--------------------------------
要素市場が完全競争にあるとき，ある企業の生産関数が，生産量Ｑ，資本スト
ックＫ，労働力Ｎとして，Ｑ＝２Ｋ・Ｎ で与えられています．いま，生産量
Ｑ＝１００が計画され，要素価格がＫについて１万円，Ｎについて２万円であ
るとき，費用を最小にするＫとＮの最適投入量の組み合わせを求めなさい．
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（例題３の解説）
この問題を高校数学の延長で解く場合は，数学２で学ぶ「接線の傾き」の知識
が必要となります．
（接線の傾き）=======================================
曲線 y = f(x) 上の点Ａ（a, f(a)）における接線の傾きは，
微分係数 f'(a) に等しい．
あるいは，曲線 y = f(x) 上の点Ａ（a, f(a)）での接線の方程式は，
y - f(a) = f'(a)(x - a)
である．
===================================================
生産量１００の場合の生産関数は， １００＝２Ｋ・Ｎ （１）
費用をＣで表すと， Ｃ＝１Ｋ＋２Ｎ （２）
横軸にＮ（労働），縦軸にＫ（資本）をとった図を描くと，生産関数（あるい
は等量曲線）は双曲線であり，費用線は右下がりの直線になります．
費用が最小となるのは，費用線が生産関数に接するときです．双曲線（生産関
数，ここでは等量曲線）と費用線が接する条件は次のようになります．
費用線の傾き＝等量曲線の接線の傾き （３）
費用線の傾きは，（２）式から−２であることがすぐわかります．
等量曲線の接線の傾きは，（１）から，
Ｋ＝５０／Ｎ （４）
と変形して，Ｎについて微分します．これで接線の傾きが求められます（上の
接線の公式参照）．
（４）をＮについて微分すると（このとき商の微分の公式＊を使います），
−５０／Ｎ＾２
従って，（３）の条件は，
−２ ＝ −５０／Ｎ＾２
これから， Ｎ＝５ がえられます．Ｎ＝５を（１）に代入すると，Ｋが求ま
ります． Ｋ＝１０
（答）Ｎ＝５，Ｋ＝１０
（注＊）商の微分の公式------------
ｙ １
ｄ（-----） = --------（ｘ・ｄｙ−ｙ・ｄｘ）
ｘ ｘ＾２
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★（上級者向け）ラグランジュ未定係数法による解法
問題設定：
min K + 2*N （目的関数）
s.t. 100 = 2K*N （制約条件）
ラグランジュ未定係数法を使うと，上の問題は次のように書くことができます．
L = K + 2*N + λ（100 - 2*K*N） （５）
λがラグランジュ乗数です．
最小化の１階の条件は以下になります．
dL
---- = 1 - 2*N*λ = 0 （６）
dK
dL
---- = 2 - 2*K*λ = 0 （７）
dN
dL
---- = 100 - 2*K*N = 0 （８）
dλ
上の３つの式（６）〜（８）から，N = 5，K = 10 が得られます．
☆ Mathematica program --------------
Clear[f, g, L, x, y, lambda];
f[x_, y_] := x + 2*y;
g[x_, y_] := 100 - 2*x*y;
L[x_, y_, lambda_] := f[x, y] + lambda*g[x, y];
c = Solve[
{
D[L[x, y, lambda], x] == 0,
D[L[x, y, lambda], y] == 0,
D[L[x, y, lambda], lambda] == 0
}, {x, y, lambda}
]
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（注）上で，x = K，y = Nです．Mathematica では N は数値解をえる関数と
してすでに決まっているので，利用者は自分のプログラム内で N を使えません．
■前提となる高校数学の知識
・２次関数，放物線の性質
・２次関数の最大，最小
・接線の傾き，あるいは，接線の公式
・基礎的な微分の計算（積と商の微分）
■関連サイト紹介
数学ナビゲーター 数学２：
http://www.crossroad.jp/mathnavi/math-ii/math-ii-index.html
高校数学の復習サイトとして利用してください．
ミクロ経済学講義ノート（法政大学 奥山利幸先生）：
http://okuyama.mt.tama.hosei.ac.jp/education/microeconomics/
ミクロ経済学問題集（ミクロ経済学の間）：
http://www2.nasicnet.com/~tell-g/monndai.html
★経済数学入門（PukiWiki）：
http://www.matsusaka-u.ac.jp/~aihara/pukiwiki2/index.php?
関数，微積分，微分方程式までカバーしています．
■参考文献
小野善康・中山幹夫・福田慎一・本多佑三，編（2003）
『現代経済学の潮流２００３』東洋経済新報社．
第８章 経済学教育の実践的課題（パネルディスカッション）
宇沢弘文（2001）『好きになる数学入門５ 関数を調べる 微分法』岩波書店
微分の基本的な概念から丁寧に説明してくれます．ラグランジュ未定係数法は
第９章で登場します．
宇沢弘文（1990）『経済解析 基礎編』岩波書店
ラグランジュ未定係数法は第１６章で解説しています．
浅利一郎・山下隆之（2003）『はじめよう経済数学』日本評論社
最初に高校数学の復習を整理してあります．
ディキシット（1997）『経済理論における最適化』勁草書房
西村清彦（1990）『経済学のための最適化理論入門』東京大学出版会
これは上級者向けです．
Huang C.J. and P.S. Crooke(1997), Mathematics and Mathematica
for Economists, Blackwell.
経済数学と Mathematica について参考になります．上のプログラムはこの本を参考にしています．
公務員受験向けの演習書としては以下があります．いずれも豊富な練習問題
が載っています．
西村和雄（1990）『入門経済学ゼミナール』実務教育出版
原田泰（1996）『経済学スーパー解法テクニック』実務教育出版
資格試験研究会編（2000）『公務員試験スーパー過去問ゼミ ミクロ経済学』実務教育出版
■まとめ------------
・経済学部生にとって，数的な考え方，論理的な思考方法が重要である．
・ミクロ経済学，マクロ経済学，経済数学，統計学，計量経済学はぜひ履修しておこう．
・ミクロ経済学では，最大・最小化問題を理解することが１つのキーである．
・最大・最小化問題には，制約条件付きと制約条件なしの２タイプがある．
・関数の極値（最大値，最小値）での接線の傾きはゼロである．
・接線の傾き＝０を数学で表現すれば，関数の偏微分＝０
・上級者は，ラグランジュ未定係数法をぜひマスターしよう．
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（注意）後日サイトにアクセスした場合，サイトの構成に違いがでてきたり，
ＵＲＬが変更になっている場合がありますので，了解してください．
（アクセス日）２００３年１２月１２日
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【Ｑ ＆ Ａ】関数の極値（最大値，最小値）での接線の傾きの大きさは？
→ ゼロ
【今回のサイト】 経済数学入門（PukiWiki）：
http://www.matsusaka-u.ac.jp/~aihara/pukiwiki2/index.php?
【評価】★★★
私の評価の基準：最高が★★★，次が★★，最後が★です．
★１つは普通という評価です．
データが十分提供されているかどうかが評価のポイントです．
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【発行】 熊本学園大学 経済学部 国際経済学科
【著者】 笹山 茂
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Copyright 2003